1. Định nghĩa
Khái niệm và điều kiện cơ bản.
Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax² + bx + c với a, b, c là hằng số và a ≠ 0. Tập xác định là ℝ. Đồ thị là một đường parabol.
Dạng tổng quát: y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
Dạng đỉnh: y = a(x − xI)² + yI với I(xI, yI) là đỉnh.
2. Đỉnh và trục đối xứng
Công thức cần nhớ.
Hoành độ đỉnh
xI = −b / (2a)
Tung độ đỉnh
yI = −Δ / (4a) với Δ = b² − 4ac
Trục đối xứng
x = −b / (2a)
Hướng cong
a > 0: parabol hướng lên (cực tiểu tại I). a < 0: parabol hướng xuống (cực đại tại I).
3. Bảng biến thiên & đồ thị
Khi a > 0.
| x | −∞ | xI | +∞ |
|---|---|---|---|
| y | +∞ ↓ | yI | ↑ +∞ |
Khi a < 0, đổi chiều mọi mũi tên và yI trở thành giá trị cực đại.
4. Ví dụ giải mẫu
Ba ví dụ điển hình theo bước.
Ví dụ 1 — Xác định đỉnh và trục đối xứng
Cho hàm số y = 2x² − 4x + 1. Tìm đỉnh và trục đối xứng của parabol.
- a = 2, b = −4, c = 1 ⇒ a > 0 nên parabol hướng lên.
- xI = −b/(2a) = −(−4)/(2·2) = 1.
- yI = 2·1² − 4·1 + 1 = −1.
- Trục đối xứng: x = 1.
Đỉnh I(1; −1), trục x = 1.
Ví dụ 2 — Vẽ đồ thị (phác)
Vẽ parabol y = −x² + 2x + 3.
- a = −1 < 0 ⇒ parabol hướng xuống, đỉnh là cực đại.
- xI = −2/(2·(−1)) = 1; yI = −1 + 2 + 3 = 4.
- Giao Oy: y(0) = 3 ⇒ điểm (0; 3).
- Giao Ox: −x² + 2x + 3 = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 3 ⇒ điểm (−1; 0) và (3; 0).
Vẽ parabol qua 4 điểm: (−1; 0), (0; 3), (1; 4), (3; 0).
Ví dụ 3 — Tìm a, b, c từ đỉnh
Parabol có đỉnh I(2; −3) và đi qua điểm A(0; 1). Tìm a, b, c.
- Dạng đỉnh: y = a(x − 2)² − 3.
- Thay A(0; 1): 1 = a·4 − 3 ⇒ a = 1.
- Khai triển: y = (x − 2)² − 3 = x² − 4x + 1.
a = 1, b = −4, c = 1.
5. Bài tập tự luyện
Hoàn thành trước buổi học sau.
- Tìm đỉnh và trục đối xứng của parabol y = 3x² + 6x − 1.
- Cho hàm số y = −2x² + 8x − 5. Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất.
- Vẽ phác đồ thị y = x² − 4x + 4. Đồ thị tiếp xúc trục Ox tại điểm nào?
- Xác định a, b, c biết parabol y = ax² + bx + c có đỉnh I(−1; 4) và đi qua O(0; 3).
- Tìm m để parabol y = x² − 2mx + m² − 1 cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt.