1. Định nghĩa và bậc của đa thức
Khái niệm cơ bản.
Đa thức một biến x trên ℝ có dạng P(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 với an ≠ 0. Bậc đa thức là n.
Hai đa thức bằng nhau ⇔ hệ số tương ứng cùng bậc bằng nhau.
2. Định lý Bezout
Mệnh đề trung tâm khi giải phương trình.
Định lý Bezout
- Số dư khi chia P(x) cho (x − a) bằng P(a).
- x = a là nghiệm của P(x) ⇔ (x − a) là ước của P(x).
Hệ quả: nếu P(x) có nghiệm hữu tỷ p/q (p, q nguyên cùng nhau) thì p | a0 và q | an.
3. Sơ đồ Horner
Phép chia nhanh đa thức bậc n cho (x − a).
Cho P(x) = 2x³ − 5x² + 3x − 4 chia cho (x − 2):
| 2 | −5 | 3 | −4 | |
|---|---|---|---|---|
| x = 2 | 2 | 2·2 + (−5) = −1 | (−1)·2 + 3 = 1 | 1·2 + (−4) = −2 |
Vậy P(x) = (x − 2)(2x² − x + 1) − 2. Số dư là −2; nếu = 0 thì (x − 2) là ước.
4. Phân tích đa thức
Bốn phương pháp thường dùng.
Đặt nhân tử chung
x³ − x = x(x² − 1) = x(x − 1)(x + 1).
Hằng đẳng thức
x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4).
Nhóm hạng tử
x³ + 3x² − x − 3 = x²(x + 3) − (x + 3) = (x + 3)(x − 1)(x + 1).
Định lý Bezout
Tìm nghiệm hữu tỷ bằng cách thử p/q với p | a0, q | an.
5. Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1 — Giải PT bậc 3
Giải x³ − 7x + 6 = 0.
- Thử x = 1: 1 − 7 + 6 = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm.
- Chia x³ − 7x + 6 cho (x − 1): được x² + x − 6.
- Giải x² + x − 6 = 0 ⇒ x = 2 hoặc x = −3.
x = 1, x = 2, x = −3.
Ví dụ 2 — Bezout
Cho P(x) = x⁴ − 3x³ + ax² + bx + 4. Biết P(1) = 0 và P(−1) = 6. Tìm a, b.
- P(1) = 1 − 3 + a + b + 4 = a + b + 2 = 0 ⇒ a + b = −2.
- P(−1) = 1 + 3 + a − b + 4 = a − b + 8 = 6 ⇒ a − b = −2.
- Giải hệ: a = −2, b = 0.
a = −2, b = 0.
6. Bài tập tự luyện
- Phân tích thành nhân tử: x³ − 6x² + 11x − 6.
- Giải phương trình: 2x³ + 3x² − 11x − 6 = 0.
- Cho P(x) = x⁴ + ax² + b, biết P(x) chia hết cho (x² − x + 1). Tìm a, b.
- Tìm tất cả nghiệm hữu tỷ của x⁴ − x³ − 7x² + 5x + 10 = 0.
- Chứng minh rằng x⁵ − x chia hết cho 30 với mọi số nguyên x.
- Cho P(x) bậc n có n nghiệm phân biệt x1, ..., xn. Chứng minh tổng các nghiệm = −an−1/an.